Kurze Wege  

   

Nichtstandard-Analysis -- Analysis mit hyperreellen Zahlen

Damit man die Differential- und Integralrechnung leichter versteht.

Spätestens mit Beginn der Qualifikationsphase steht im Mathematikunterricht das Thema Analysis, also Differential- und Integralrechnung, im Mittelpunkt. Bekanntlich werden dabei das Änderungsverhalten von Funktionen untersucht sowie Inhalte von Flächen berechnet, deren Ränder Fläche krumm sind.

Die Schwierigkeit dabei ist, dass man diese Änderungen bzw. Flächeninhalte nur in wenigen Fällen exakt berechnen kann, sondern immer ein "Restfehler" bleibt. Um genau genug zu sein, benötigt man unendlich kleine bzw. unendlich große Zahlen, die es innerhalb der Menge der reellen Zahlen (bis auf die Null) nicht gibt. Die "Väter der Analysis" (Leibniz, Newton und Euler, aber auch bereits Archimedes) haben seinerzeit im Unendlichen intuitiv richtig gerechnet, waren aber nicht in der Lage, solche unendlichen Zahlen widerspruchsfrei zu erklären. Stattdessen löste man jahrhundertelang das Problem, indem man die reellen Zahlen in einem sog. Grenzprozess immer kleiner bzw. immer größer werden ließ, um auf diesem Wege das gesuchte Ergebnis zu finden. In vielen Fällen musste man das Ergebnis aber wissen, um es als Grenzwert schließlich zu bestätigen.

Etwa 1960 ist es Abraham Robinson gelungen, Zahlen zu erklären, die einen unendlich großen Betrag haben, und deren Kehrwerte demzufolge betragsmäßig unendlich klein sind. So ergibt sich die Menge der hyperreellen Zahlen, mit denen man nun in der Lage ist, Analysis so zu betreiben, wie es sich die "Väter der Analysis" vorgestellt hatten.

Diese "Nichtstandard-Analysis" wird am Hermann-Ehlers-Gymnasium auch angewendet. Sie hat sich für viele Schüler, die Schwierigkeiten haben, sich einen Grenzprozess vorzustellen, als zum Lernen nützlich erwiesen. Darüber, wie Nichtstandard-Analysis funktioniert, gibt die Internetseite www.nichtstandard.de umfassend Auskunft. Sie ist extra für Schulen konzipiert. Neben Kurzbiografien über Archimedes, Leibniz, Newton, Euler und Robinson bietet sie Tutorials und zahlreiche Materialien zum Lernen.

 Nichtstandard-Analysis hat sich als ein Weg erwiesen, der Schülerinnen und Schülern das Verständnis der Differential- und Integralrechnung erleichtert.

 Hier geht es auf  http://www.nichtstandard.de/

   
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